基金分离定律(两基金分离定理的证明)

基金分离定律是指，任何投资者都可以通过拥有资产和资产来达到其所需的预期率和水平。这个定律的重要在于它揭示了投资组合理论的基础，而投资组合理论是现代的核心理论之一。

基金分离定律有两个基本的分离定理，即资产分离定理和市场分离定理。资产分离定理是指，任何资产的组合都可以表示为一个无关的资产和一个相关的资产的组合。市场分离定理是指，任何投资者的投资组合都可以表示为市场组合和一个无关的资产的组合。

下面我们来证明一下这两个定理。

首先，我们证明资产分离定理。设有两个资产和B，它们的期望率分别为μ和μB，标准差分别为σ和σB，相关系数为ρB。我们还设有一个资产C，其期望率为rC。那么我们虑一个投资组合P，其中x是的权重，y是B的权重，-x-y是C的权重，即

P = x + yB + (-x-y)C

该投资组合的期望率为

μP = xμ + yμB + (-x-y)rC

该投资组合的方差为

σP2 = x2σ2 + y2σB2 + 2xyρBσσB

现在我们的目标是找到一个投资组合，它的率与P相同，但方差更小。我们设为

= w + zB

该投资组合的期望率为

μ = wμ + zμB

该投资组合的方差为

σ2 = w2σ2 + z2σB2 + 2wzρBσσB

由于我们希望投资组合的率与P相同，即

wμ + zμB = xμ + yμB + (-x-y)rC

我们可以解出

w = x + (rC - μ)/(μB - μ)(y-x)

z = y - (rC - μB)/(μB - μ)(y-x)

将w和z代入投资组合的方差公式中，我们得到

σ2 = (y-x)2[(μB-μ)2σ2 + (μ-μB)2σB2 + 2(μB-μ)(μ-μB)ρBσσB]/[(μB-μ)2(y-x)2 + (rC-μ)2 + (rC-μB)2 - 2(μB-μ)(rC-μ)(y-x) - 2(μ-μB)(rC-μB)(y-x)]

我们的目标是小化σ2，即对y-x求导，令其等于0，解出y-x的值。我们可以证明，当y-x等于(μB-μ)/(ρBσB)2时，σ2达到小值。将这个值代入上面的公式，我们得到

σ2 = (μB-μ)2/[ρB2σB2(μB-μ)2 + (rC-μ)2 + (rC-μB)2 - 2ρBσB2(μB-μ)(rC-μ)]

这个公式表明，投资组合的方差只与资产C有关，与资产和B的权重无关。因此，我们可以得出结论任何资产的组合都可以表示为一个无关的资产和一个相关的资产的组合。这就是资产分离定理。

接下来，我们证明市场分离定理。设有一个市场，其中有N个资产，它们的期望率和标准差分别为μi和σi，i=,2,...,N。我们还设有一个资产C，其期望率为rC。我们设市场组合M为

M = Σi=到N(xiMi)

其中，xi是i个资产在市场组合中的权重，Mi是i个资产的。市场组合的期望率为

μM = Σi=到N(xiμi)

市场组合的方差为

σM2 = Σi=到NΣj=到Nxixjσiσjρij

其中，ρij是i个资产和j个资产的相关系数。

我们设有一个投资者，他的预期率为r，他可以选择在市场组合M和资产C之间进行投资。他的投资组合P为

P = xM + (-x)C

该投资组合的期望率为

μP = xμM + (-x)rC

该投资组合的方差为

σP2 = x2σM2

现在我们的目标是找到一个投资组合，它的率与P相同，但方差更小。我们设为

= yM + (-y)C

该投资组合的期望率为

μ = yμM + (-y)rC

该投资组合的方差为

σ2 = y2σM2

由于我们希望投资组合的率与P相同，即

yμM + (-y)rC = xμM + (-x)rC

我们可以解出

y = x + (rC - μM)/σM2

将y代入投资组合的方差公式中，我们得到

σ2 = σM2/[ + (rC - μM)2/σM?]

我们的目标是小化σ2，即对x求导，令其等于0，解出x的值。我们可以证明，当x等于(μM - rC)/σM2时，σ2达到小值。将这个值代入上面的公式，我们得到

σ2 = σM2/[ + (μM - r)/σM2]

这个公式表明，投资者的投资组合只与市场组合和资产的权重有关，与资产的权重无关。因此，我们可以得出结论任何投资者的投资组合都可以表示为市场组合和一个无关的资产的组合。这就是市场分离定理。

综上所述，基金分离定律是现代的核心理论之一，它揭示了投资组合理论的基础。资产分离定理和市场分离定理是基金分离定律的两个基本定理，它们的证明为我们提供了一个更深入的理解。

基金分离定律是指资产的和可以通过不同的资产组合来实现。即使两种资产的和不同，它们可以被组合在一起以获得所需的和。两基金分离定理是基金分离定律的特例，它指出一个资产和一个资产的组合可以产生与资产的任何组合具有相同的组合。

.基金分离定律的定义

基金分离定律是指投资者可以通过适当的资产组合来实现所需的和。这意味着，即使两种资产的和不同，它们可以被组合在一起以获得所需的和。这个定律是投资组合理论的基础。

2.两基金分离定理的证明

两基金分离定理是基金分离定律的特例。它指出一个资产和一个资产的组合可以产生与资产的任何组合具有相同的组合。证明如下

设有两种资产和B，其中是资产，B是资产。设r和rB分别为资产和B的，σ为资产的，w为资产在投资组合中的权重。则投资组合的rP和σP可表示为

rP = wr + (-w)rB

σP = wσ

现在设有另一个投资组合，其为σP，为rP。我们需要证明这个组合可以由资产和B的组合来实现，即存在w，使得

rP = wr + (-w)rB

σP = wσ

由于rP = rP，我们可以得到

wr + (-w)rB = wr + (-w)rB

解出w，可以得到

w = (rB - rP)/(rB - r)

这个公式告诉我们，任何资产和资产的组合都可以实现与资产的任何组合具有相同的组合。这是因为，无论资产的是多少，我们都可以通过调整w的值来实现所需的。这个定理为投资者提供了更多的选择，使他们能够根据自己的需求和承受能力来构建投资组合。

基金分离定律和两基金分离定理是投资组合理论的重要基础。这些定理告诉我们，投资者可以通过适当的资产组合来实现所需的和。在实践中，投资者可以利用这些定理来构建投资组合，以实现的和平衡。